1. You can come in when you have taken off your boots. 2. Be careful: you may spill the milk if you carry it like that. 3. Most children can slide on the ice very well. 4. I don't think I can be here by eleven o'clock tomorrow, but I may be. 5. Can you see anything in this inky darkness? 6. You may go when you have finished your compositions. 7. What shall we do if the train is late? It may be late, you know, after the terrible snowstorms we've had. 8. When can you come and see me? — Let me see: I may not come tomorrow, for I must be at the meeting, but on Sunday I'll find time. Yes, you can expect me on Sunday about three o'clock. Will that be all right?

You can come in when you have taken off your boots.
Здесь используется модальный глагол "can", который указывает на разрешение. Фраза означает, что человек может войти, но только после того, как снимет свои ботинки. Это условие должно быть выполнено перед входом.

Be careful: you may spill the milk if you carry it like that.
В этом предложении "may" выражает вероятность, то есть вероятность того, что молоко может пролиться, если его нести так, как показано. Это предупреждение о возможном несчастном случае.

Most children can slide on the ice very well.
"Can" в этом предложении выражает способность, то есть большинство детей могут хорошо кататься на льду. Это способность, которая имеется у большинства детей.

I don't think I can be here by eleven o'clock tomorrow, but I may be.
Здесь "can" выражает способность или возможность, а "may" — вероятность. Говорящий не уверен, сможет ли он быть здесь к одиннадцати часам, но предполагает, что это возможно.

Can you see anything in this inky darkness?
В этом вопросе "can" используется для запроса способности: можно ли что-то увидеть в такой темноте. Вопрос направлен на то, есть ли возможность разглядеть что-то в условиях почти полной темноты.

You may go when you have finished your compositions.
В данном случае "may" выражает разрешение: ты можешь уйти только после того, как закончишь свои композиции. Это условие для того, чтобы человек получил разрешение на выход.

What shall we do if the train is late? It may be late, you know, after the terrible snowstorms we've had.
Здесь "may" выражает вероятность. Говорящий предполагает, что поезд может опоздать из-за сильных снежных бурь, которые прошли, и рассматривает это как возможный исход.

When can you come and see me? — Let me see: I may not come tomorrow, for I must be at the meeting, but on Sunday I'll find time. Yes, you can expect me on Sunday about three o'clock. Will that be all right?
Здесь "may" используется для выражения неопределенности или возможности. Говорящий не уверен, сможет ли он прийти завтра, но предполагает, что это возможно в воскресенье.