1. Written in very bad handwriting, the letter was difficult to read. 2. Writing his first book, he could not help worrying about the reaction of the critics. 3. Being so far away from home, he still felt himself part of the family. 4. Not wishing to discuss that difficult and painful problem, he changed the subject. 5. Translated by a good specialist, the story preserved all the sparkling humour of the original. 6. Waiting in the hall, he thought over the problem he was planning to discuss with the old lady. 7. Lying down on the soft couch, the exhausted child fell asleep at once. 8. She went to work, leaving the child with the nurse.

Письмо, написанное очень плохим почерком, было трудно читать.
Здесь основное предложение "письмо было трудно читать", а часть "написанное очень плохим почерком" является пояснением, почему оно было трудно читать. Это предложение представляет собой конструкцию с деепричастным оборотом.

Пишущий свою первую книгу, он не мог не беспокоиться о реакции критиков.
В этом предложении используется причастный оборот "пишущий свою первую книгу", который описывает действие, происходящее в момент основного действия — беспокойства о реакции критиков.

Будучи так далеко от дома, он все равно чувствовал себя частью семьи.
Здесь деепричастный оборот "будучи так далеко от дома" поясняет, при каких обстоятельствах он чувствовал себя частью семьи. Это объясняет контекст, в котором он переживал.

Не желая обсуждать эту сложную и болезненную проблему, он сменил тему.
Деепричастие "не желая обсуждать" объясняет причину, по которой он решил сменить тему разговора. Это указывает на то, что его действия были вызваны нежеланием обсуждать проблему.

Переведенная хорошим специалистом, история сохранила весь яркий юмор оригинала.
Причастный оборот "переведенная хорошим специалистом" объясняет, каким образом история сохранила юмор оригинала. Это помогает понять, что перевод был выполнен качественно.

Ожидая в холле, он обдумывал проблему, которую собирался обсудить с пожилой дамой.
Здесь деепричастие "ожидая в холле" описывает обстоятельства, при которых он размышлял о проблеме. Этот оборот помогает лучше понять, в каких условиях он думал о предстоящем разговоре.

Лежа на мягком диване, усталый ребенок сразу же заснул.
Деепричастный оборот "лежа на мягком диване" описывает действие, происходящее одновременно с основным — сном ребенка. Этот оборот помогает показать, как физическое состояние ребенка (усталость) связано с его сном.

Она пошла на работу, оставив ребенка с няней.
"Оставив ребенка с няней" — деепричастный оборот, поясняющий, что именно она сделала, прежде чем пойти на работу. Это дает более полное представление о ее действиях.