Как пишется правильно: doesn't или does′nt?

Правильно пишется doesn’t — через обычный апостроф перед t.

Разберём:

• does not → doesn’t

• это стандартное сокращение в английском языке

Вариант does′nt — неправильный.
Там используется не обычный апостроф, а другой знак (′), который называется штрихом или prime. Он внешне похож, но в обычном письме и в английских сокращениях не используется.

То есть:

• He doesn’t know. — правильно

• He does′nt know. — неправильно

Если печатаете на клавиатуре, нужен именно символ апострофа: '
Итог: правильно — doesn’t.