Почему Речь Посполитая оказала поддержку Лжедмитрию I?

Короткий ответ: поддержка была «частной инициативой» польско-литовских магнатов, негласно терпимой королём, потому что это давало Речи Посполитой шанс дёшево и с большой выгодой поставить в Москве зависимого от себя царя, урвать приграничные земли и трофеи и продвинуть католицизм. А теперь по пунктам.

1) Геополитический расчёт
После Ливонской войны у Речи Посполитой оставалась долговременная конкуренция с Москвой за Смоленск и Северские города. Смутное время, голод 1601–1603 годов и непопулярность Бориса Годунова создавали редкое «окно возможностей». Поставить на трон правителя, обязавшегося благосклонностью к Кракову, — значит резко усилить влияние на восток, обезопасить рубежи и вернуть спорные территории.

2) Обещания самого Лжедмитрия
Он щедро раздавал обязательства тем, кто его финансировал и вооружал:

• обещал уступки по приграничью (прежде всего Смоленской и Северской линии) и иные территориальные/политические выгоды Речи Посполитой;

• гарантировал широкие права католикам и допуск орденов (в т. ч. иезуитов) в Московское государство;

• обязался щедро вознаградить главных покровителей — землями, денежными суммами, должностями.
  То есть для Варшавы и магнатов это выглядело как «инвестиция» с потенциально огромной отдачей.

3) Роль магнатов и личные интересы
Официальной войны Сейм не объявлял, и король Сигизмунд III формально не посылал войска. Но крупные вельможи (прежде всего сандомирский воевода Юрий Мнишек) вели дело как собственный проект: нанимали «частные» хоругви, вели переговоры, выбивали себе обещания пожалований. Брак Лжедмитрия с Мариной Мнишек только закрепил эту связку интересов. Для шляхты и «охотников удачи» это была ещё и перспектива добычи, выкупов и карьеры.

4) Конфессионный мотив
Сигизмунд III — ревностный католик; папский нунций в Варшаве и иезуитские круги видели в претенденте шанс «раскрыть» Московское государство для католической миссии и, как минимум, добиться терпимости к католикам, а в идеале — продвижения унии. Обещания Лжедмитрия в этой сфере делали его особенно привлекательным союзником.

5) Дешёвизна и приемлемый риск
Поскольку всё начиналось как частная экспедиция магнатских сил (плюс запорожские и городовые казаки), государство избегало прямых затрат и политической ответственности. При удаче — колоссальные дивиденды (союзный царь, земли, влияние), при неудаче — «это ведь частные отряды авантюристов», а не официальная армия Речи Посполитой.

Итог
Поддержка Лжедмитрия I появилась на стыке пяти мотивов: благоприятная обстановка в ослабленной Москве; шанс переписать приграничную карту; конкретные и очень выгодные обещания претендента; интересы магнатов, превращавших политику в бизнес-проект; и религиозная надежда усилить позиции католицизма. Всё это вместе и породило польско-литовскую «ставку» на самозванца.