Можно ли утверждать, что Х. Колумб, открыв Америку, достиг цели своей экспедиции?

Короткий ответ: без оговорок — нет. В узком смысле своей задумки Колумб цели не достиг; в широком — добился результатов, которые корона посчитала достаточными, чтобы признать экспедицию успешной и профинансировать новые.

Почему так:

1. Что он хотел изначально
   Главная идея Колумба — добраться до «Индий» (Китай/Япония/Юго-Восточная Азия) западным путём, то есть открыть прямой морской маршрут к азиатским рынкам пряностей и золота. Он строил расчёты на заниженном периметре Земли и завышенной протяжённости Евразии, полагая, что до Азии «рукой подать».

2. Что получилось фактически в 1492–1493
   Он дошёл до Багам, Кубы и Эспаньолы, то есть до земель, о существовании которых в Европе не знали. Это не Азия. Однако Колумб был уверен, что достиг «Островов Индий», и так и докладывал. Корона, не имея иных данных, приняла эту интерпретацию и наградила его, отправив во второе плавание.

3. Цели короны и юридический результат
   По «Капитуляциям Санта-Фе» Колумб получал титулы и полномочия за «открытие и завоевание» земель в «Океанском море», с правом администрирования и добычи богатств. С этой точки зрения он выполнил задачу: нашёл новые территории, водрузил там кастильские знаки, привёз туземцев, немного золота и образцы товаров. Это имело огромный политический и стратегический эффект (включая последующее разграничение сфер влияния по Тордесильясскому договору).

4. Коммерческо-навигационный итог
   Ключевой экономической цели — пряностей и прямой торговли с Азией — экспедиция не достигла. Ни пряностей, ни шёлка, ни рынков Ципангу он не нашёл, а удобного пролива к «настоящей» Азии — тоже. Морской путь к Азии западным курсом станет фактом только после экспедиции Магеллана, а к Индии — после Васко да Гамы вокруг Африки.

5. Позднейшая оценка
   Когда стало ясно, что это новый континент, стало очевидным: географическая цель Колумба (Азия) была ошибочной. Но историческое значение открытия (начало устойчивой связи Старого и Нового Света) оказалось куда шире первоначальной задачи.

Итоговая формулировка
Если понимать «цель экспедиции» как достижение Азии западным путём — нет, Колумб цели не достиг. Если же под целью иметь в виду задачу короны по расширению владений, открытию и присвоению новых земель и ресурсов — да, экспедиция была успешной, причём с последствиями, намного превосходящими первоначальные ожидания.