1) Позывные радиостанций должны начинаться с буквы R. Скольким радиостанциям можно присвоить различные позывные, если позывные состоят из трёх букв (из 10 возможных), причём эти буквы могут повторяться? 2) Позывные радиостанций должны начинаться с буквы W. Скольким радиостанциям можно присвоить различные позывные, если позывные состоят из четырёх букв (из 10 возможных), которые не повторяются? 3) В классе 25 учеников. Найдите количество способов выбрать из них 2-х дежурных. 4) Сколькими способами можно выбрать 3 пирожных из 17 различных? 5) В классе 13 мальчиков. Для участия в футбольном турнире необходимо собрать команду из 11 мальчиков. Сколько различных команд можно составить из ребят этого класса?

Решение задач по комбинаторике

1) Позывные из трёх букв, начинающиеся с R (буквы могут повторяться)

Дано:

• Позывной состоит из 3 букв.

• Первая буква обязательно R.

• Всего имеется 10 возможных букв.

• Буквы могут повторяться.

Решение:

Поскольку первая буква фиксирована (R), для неё существует только 1 вариант.

Для второй буквы можно выбрать любую из 10 букв.

Для третьей буквы также можно выбрать любую из 10 букв, поскольку повторения разрешены.

По правилу умножения получаем:

Ответ: 100 радиостанций.

2) Позывные из четырёх букв, начинающиеся с W (буквы не повторяются)

Дано:

• Позывной состоит из 4 букв.

• Первая буква обязательно W.

• Всего имеется 10 возможных букв.

• Буквы не могут повторяться.

Решение:

Первая буква фиксирована (W), поэтому для неё имеется только 1 вариант.

Для второй буквы остаётся 9 вариантов, так как буква W уже использована.

Для третьей буквы остаётся 8 вариантов.

Для четвёртой буквы остаётся 7 вариантов.

Используем правило умножения:

Ответ: 504 радиостанции.

3) В классе 25 учеников. Сколькими способами можно выбрать двух дежурных?

Дано:

• Всего 25 учеников.

• Нужно выбрать 2 дежурных.

Решение:

В этой задаче порядок выбора учеников не имеет значения. Например, если выбрали Петю и Васю, то это та же самая пара, что Вася и Петя.

Поэтому используем формулу числа сочетаний:

Подставим значения $n=25$, $k=2$:

Сократим факториалы:

Ответ: 300 способов.

4) Сколькими способами можно выбрать 3 пирожных из 17 различных?

Дано:

• Всего 17 различных пирожных.

• Необходимо выбрать 3 пирожных.

Решение:

Поскольку все пирожные различны и порядок их выбора не имеет значения, используем формулу сочетаний:

Подставим $n=17$, $k=3$:

Сократим факториалы:

Вычислим:

Ответ: 680 способов.

5) В классе 13 мальчиков. Сколько различных футбольных команд по 11 человек можно составить?

Дано:

• Всего 13 мальчиков.

• В футбольной команде должно быть 11 мальчиков.

Решение:

Порядок выбора игроков не имеет значения. Важно только, какие именно 11 мальчиков войдут в команду.

Поэтому применяем формулу сочетаний:

Подставим