Как пишется мечется или мечится

Правильный вариант — мечется.

Это форма глагола метаться в настоящем времени, 3-е лицо, единственное число. В русском языке глаголы, оканчивающиеся в инфинитиве на -аться, в такой форме пишутся с буквой е после ч: мечется, а не мечится.

Пример в предложении:
По комнате мечется испуганная птица.

Почему так:
Глагол метаться — возвратный, первого спряжения. У глаголов первого спряжения в 3-м лице единственного числа окончание -ется (если безударное). Поэтому и пишем: мечется.

Ошибочный вариант мечится возникает из-за путаницы с глаголами второго спряжения, где бывает окончание -ится, но метаться к ним не относится.