Как пишется по шеи или по шее

Правильный вариант — "по шее". Это выражение связано с существительным "шея", которое в родительном падеже во множественном числе имеет форму "шеи". Когда мы говорим "по шее", имеем в виду что-то, что касается или воздействует на шею (например, "проводить рукой по шее").

Ошибочное написание "по шеи" не используется в русском языке.