Медвежья или медвежая берлога

Правильный вариант — «медвежья берлога». В русском языке прилагательное «медвежий» изменяется по родам и числам. Так, в мужском роде мы говорим «медвежий», а в женском роде — «медвежья». Поэтому «медвежья» — это правильно употребляемая форма прилагательного для женского рода, которая подходит к слову «берлога», являющемуся существительным женского рода.