(На)перекор желанию, (во)время дождя, (в)связи с началом сезона, договориться (на)счёт кредита, узнать (в)последстви.., всматриваться (в)течени.. реки, (не)взирая на трудности, (за)счёт бюджетных средств

(На)перекор желанию — здесь правильно используется предлог "на". Это выражение означает "вопреки" или "против желания". Например, "Он пошел наперекор своему желанию и принял участие в этом проекте".

(Во)время дождя — предлог "во" является правильным, потому что используется в сочетаниях с существительными, начинающимися на гласную букву, например: "во время" (смыслом выражения будет "в момент дождя").

(В)связи с началом сезона — здесь тоже правильно используется предлог "в". "В связи с" — это устойчивое выражение, которое означает "по причине" или "из-за".

Договориться (на)счёт кредита — в этом случае правильный предлог — "насчёт". Это выражение используется для обозначения темы разговора или вопроса. Например, "Мы договорились насчёт кредита".

Узнать (в)последствии — здесь следует использовать предлог "в". Слово "впоследствии" означает "позже, потом", и предлог "в" является необходимым.

Всматриваться (в)течение реки — здесь также правильный предлог "в". "Всматриваться в" означает внимательно наблюдать или исследовать что-то.

(Не)взирая на трудности — правильно будет "невзирая", с отрицательной частицей "не". Это устойчивое выражение означает "несмотря на" или "игнорируя".

(За)счёт бюджетных средств — в данном случае используется предлог "за". Это выражение указывает на то, что что-то оплачивается или осуществляется при помощи бюджетных средств.