"Не дыша" - я знаю, что пишется раздельно, но почему? И какая это часть речи? Предложение: Мария стояла в галерее и смотрела на великую картину не дыша, с благоговением и трепетом.

Фраза "не дыша" в данном контексте пишется раздельно, потому что "не" в сочетании с инфинитивом ("дыша") образует отрицательную конструкцию. В русском языке отрицательная частица "не" обычно пишется раздельно с глаголами в форме инфинитива, если она не входит в состав устойчивых выражений или не образует вместе с глаголом одно слово.

В вашем примере "не дыша" — это деепричастие, которое образовано от глагола "дышать". Деепричастие обозначает действие, которое происходит одновременно с действием основного глагола (в данном случае — с действием "смотрела"). Когда деепричастие используется с частицей "не", она всегда пишется раздельно.

Таким образом, "не дыша" — это деепричастие, указывающее на способ действия (как Мария смотрела — не дыша).