Какой частью речи является (или какими частями речи являются) "прежде чем"? И где ставить запятую в предложении "И никому не приходила в голову нелепая мысль до основания разломать старый дом, прежде чем начать строить новый". Так, как она мной поставлена, или после "прежде"? И нужна ли она там вообще?

Фраза "прежде чем" является сочетанием подчинительного союза "прежде" и местоименного наречия "чем", которое указывает на момент времени, предшествующий какому-либо действию. В данном случае это словосочетание выполняет роль подчинительного союза.

Что касается запятой в предложении, то правильное место для неё — после "прежде". Это связано с тем, что "прежде чем" вводит подчинённое предложение, которое объясняет, когда нужно начать строить новый дом. Подчинённое предложение "прежде чем начать строить новый" должно быть выделено запятой с обеих сторон, так как оно добавляет уточнение к главному предложению.

Таким образом, запятая после "прежде" ставится правильно.