Как правильно: "верхнем" или "верхним"?

Правильный вариант зависит от контекста, в котором используется слово.

1. "Верхнем" — это форма в предложном падеже, которая используется, например, в выражениях типа "на верхнем этаже", "в верхнем углу", "в верхнем ряду".

Пример: Мы живем на верхнем этаже.

2. "Верхним" — это форма творительного падежа, которая используется в выражениях типа "верхним слоем", "верхним краем", "верхним концом".

Пример: Положите книгу верхним краем на стол.

Таким образом, для того, чтобы правильно выбрать форму, нужно понимать, какой падеж требуется в конкретной ситуации.