Как правильно: напишут или напишАт?

Правильный вариант — «напишут». Это форма глагола «написать» в будущем времени, 3-е лицо, множественное число. Например: «Они напишут письмо завтра».

«НапишАт» — это неверная форма, поскольку ударение в будущем времени глагола «написать» всегда падает на последний слог, и оно не изменяется в зависимости от склонения.