Пустеет воздух , птиц не слышно боле. Не слышно - какая часть речи

В данном предложении "не слышно" — это глагольная форма, точнее, отглагольное прилагательное в форме краткого причастия. "Не слышно" указывает на отсутствие звука (в данном контексте — отсутствие звука от птиц), и в сочетании с отрицанием "не" оно выполняет роль характеристики того, что происходит с воздухом, т.е. с отсутствием звуков в окружающей среде.

Таким образом, "не слышно" в данном контексте можно отнести к части речи "глагол", точнее, это краткое причастие, которое описывает состояние.