6) Вследствие болезненного состояния она ушла домой. 7) В продолжении повести я не узнал любимого героя. 8) В продолжение вечера она говорила только о нём. 9) Автор внес изменения в продолжение романа. 10) Чтобы вовремя приехать на встречу, мы вышли пораньше. 11) Когда навстречу гостям вышел старик, я сразу узнал его. 12) В продолжение дня отец несколько раз вспоминал свою жизнь. 13) Вследствие аварии лифт не работал в течение недели.

Разберём предложения с точки зрения употребления омонимичных предлогов и существительных с предлогами. Важно различать, когда перед нами предлог, а когда — существительное с предлогом. Это поможет правильно писать такие слова раздельно или слитно.

6) Вследствие болезненного состояния она ушла домой.
Слово "вследствие" употребляется в значении "из-за", "по причине", то есть это предлог, пишется слитно.
✅ Правильно: вследствие болезненного состояния.

7) В продолжении повести я не узнал любимого героя.
Здесь "в продолжении" — это существительное с предлогом, речь о части повести, то есть где-то внутри продолжения.
✅ Правильно: в продолжении повести (раздельно, так как существительное).

8) В продолжение вечера она говорила только о нём.
В этом случае "в продолжение" означает "в течение", то есть это устойчивый предлог, который пишется слитно.
❌ Ошибка: нужно слитно.
✅ Правильно: в продолжение вечера (предлог, слитно).

9) Автор внес изменения в продолжение романа.
Здесь речь идёт о том, что изменения были внесены в какую часть романа? — в продолжение. Это существительное, значит пишется раздельно.
✅ Правильно: в продолжение романа (существительное, раздельно).

10) Чтобы вовремя приехать на встречу, мы вышли пораньше.
"Чтобы" выражает цель, это союз, пишется слитно. Всё правильно.
✅ Правильно: чтобы вовремя приехать…

11) Когда навстречу гостям вышел старик, я сразу узнал его.
"Навстречу" в значении "по направлению к кому-то", это предлог, пишется слитно.
✅ Правильно: навстречу гостям.

12) В продолжение дня отец несколько раз вспоминал свою жизнь.
"В продолжение" в значении "в течение", то есть это предлог, пишется слитно.
✅ Правильно: в продолжение дня.

13) Вследствие аварии лифт не работал в течение недели.
"Вследствие" — это предлог, означает "из-за", пишется слитно.
✅ Правильно: вследствие аварии.

Вывод по ошибкам:
Ошибка допущена в предложении 8 — "в продолжение вечера" употреблено в значении "в течение", но по ошибке написано как существительное с предлогом (раздельно). Нужно слитно. Остальные предложения оформлены правильно.