Бабушкин, какая часть речи?

Слово «бабушкин» является прилагательным. Это прилагательное в форме притяжательного, то есть оно обозначает принадлежность чего-то бабушке. В русском языке такие прилагательные отвечают на вопросы «чей?» или «чья?», и в данном случае «бабушкин» отвечает на вопрос «чей?» — «бабушкин» (например, бабушкина сумка).