Как правильно писать: "определеный" или "определённый"?

Правильно: «определённый».

Почему так:

• Это форма, образованная от глагола «определить». В полных страдательных причастиях прошедшего времени (а также в отглагольных прилагательных того же типа) под ударением пишется суффикс -ённ- → «определённый».

• В суффиксах -енн- / -ённ- пишется двойная Н: «-нн-». Поэтому вариант «определеный» (с одной Н) неверен.

• Буква ё обязательна, потому что суффикс ударный: определённый. В безударной позиции было бы «-енный», но здесь ударение на «-ён-».

Проверка: краткая форма — «определён» (подтверждает «ё» и тип суффикса).
В любом значении (и «установленный», и «некоторый/известный») пишется одинаково: определённый.