Определите падеж "имени прилагательного "по узкой дороге"

Фраза "по узкой дороге" состоит из предлога "по" и существительного в предложном падеже "дороге", которое связано с прилагательным "узкой". Прилагательное "узкой" стоит в той же форме, что и существительное, с которым оно согласуется.

Таким образом, падеж прилагательного "узкой" — предложный падеж, так как оно согласуется с существительным "дорога", которое в данном контексте находится в предложном падеже.