Есть ли окончание у местоимения "её"? Если да, то какое?

Коротко: окончания у «её» не выделяется.

Поясню. «Её» бывает двух разновидностей:

1. личное местоимение (форма родительного/винительного падежа от «она»: «я видел её»);

2. притяжательное местоимение (отвечает на вопрос «чей?»: «её книга», «к её книге»).

В первом случае падеж выражается не окончанием, а самой формой слова (супплетивно), поэтому при морфемном разборе говорится: окончания нет, основа — всё слово.
Во втором случае «её» — неизменяемое притяжательное местоимение, оно не склоняется, следовательно, и окончания у него тоже нет.

Если в школьной записи требуют обязательно указать тип окончания, обычно ставят «нулевое (∅)», но по смыслу это означает то же самое: окончания нет.