К какой части речи относится слово «грустно» в приведенном примере? Мне грустно.

Слово «грустно» в предложении "Мне грустно" является наречием. Оно описывает состояние субъекта (в данном случае, состояние говорящего) и отвечает на вопрос «как?» (как тебе? — грустно).

Наречие в данном контексте характеризует эмоциональное состояние, и оно связано с глаголом, который подразумевается в предложении (например, "ты чувствуешь себя").