Какой из данных вариантов продолжения предложения синтаксически неверен? Немного отдохнув, 1) мы двинулись в обратный путь. 2) следует вернуться к упражнениям. 3) мысли лучше идут на ум.

Если внимательно рассмотреть все варианты, то видно следующее:

1. «Немного отдохнув, мы двинулись в обратный путь.»
   Здесь всё в порядке: деепричастный оборот «немного отдохнув» соотносится с подлежащим «мы». Получается правильная связь: кто отдохнул, тот и двинулся.

2. «Немного отдохнув, следует вернуться к упражнениям.»
   Это синтаксически неверно. В предложении отсутствует подлежащее, а деепричастный оборот требует, чтобы действие совершал тот же субъект, что и в основной части. Здесь получается ошибка: кто отдохнул? — непонятно, так как «следует» безлично.

3. «Немного отдохнув, мысли лучше идут на ум.»
   Тоже ошибка: выходит, что «мысли отдохнули». Подлежащее «мысли» не может быть связано с действием «отдохнув».

Таким образом, синтаксически неверны варианты 2 и 3, а правильным является только первый.