Как правильно написать: "со всей силы" или "со всей силой"?

Правильный вариант — "со всей силой". Это выражение является устойчивым и обозначает выполнение действия с максимальной энергией или мощностью. В данном контексте слово "силой" употребляется в предложном падеже, так как речь идет о том, с какой силой выполняется действие.

Фраза "со всей силы" — это тоже распространенная форма, но она является разговорной или разговорно-стилистической и не является стандартной. Поэтому в официальных и литературных текстах следует использовать "со всей силой".