Какой корень в слове "каталог"?

Коротко: корень — каталог- (в И.п. ед. ч. нулевое окончание).

Почему так: слово «каталог» — заимствованное (греч. κατάλογος). В русской системе словообразования оно не распадается на привычные приставки/суффиксы, поэтому вся основа слова считается корнем. Это видно по формам слова и производным:

• формы: каталог, каталога, каталогу, каталогом, о каталоге — во всех сохраняется основа каталог-;

• производные: каталожный (каталог- + -н- + -ый), каталогизация, каталогизировать — опять же исходная часть каталог- остается целиком.

Итоговый морфемный разбор «каталог»: [каталог]₍корень₎ + ∅₍окончание₎.