Не_годуя на ненастье не_смыкая глаз не_растеряв друзей не_допив чай не_мечтая о будущем не_дождавшись звонка не_взлюбив щенка шёл не_ оглядываясь вышла замуж не_любя не_вмешиваясь в события не_пользуясь успехом не_щадя сил

Вот как правильно писать «не» в каждом случае (это всё деепричастные обороты: с «не» обычно раздельно, кроме слов, где «не-» — часть корня и образует новое слово):

• негодуя на ненастье — слитно (от глагола негодовать, без «не» не в том значении).

• не смыкая глаз — раздельно.

• не растеряв друзей — раздельно.

• не допив чай — раздельно.

• не мечтая о будущем — раздельно.

• не дождавшись звонка — раздельно.

• невзлюбив щенка — слитно (от глагола невзлюбить — отдельное слово, не просто отрицание «взлюбить»).

• шёл не оглядываясь — раздельно.

• вышла замуж не любя — раздельно (в значении «без любви»; здесь это отрицание действия).

• не вмешиваясь в события — раздельно.

• не пользуясь успехом — раздельно.

• не щадя сил — раздельно.

Итого: слитно пишутся только негодуя, невзлюбив; остальные — раздельно.