Бывает ли грамматическая основа без подлежащего?

Коротко: да. В русском есть типы предложений, где подлежащее отсутствует как член предложения — грамматическая основа состоит только из сказуемого (или подлежащее лишь подразумевается).

Вот когда так бывает:

1. Безличные предложения — подлежащего нет вовсе, главный член — сказуемое.
   Примеры:
   • Темнеет.
   • Меня знобит.
   • Не спится.
   • Его тошнит.
   • Морозит.
   Здесь действие/состояние мыслится без действующего лица или предмета; восстановить «кто?» нельзя.

2. Личные односоставные (подлежащее не выражено, но подразумевается). Формально основы — только сказуемые в форме определённого лица/числа.
   • Определённо-личные (обычно 1-е/2-е лицо ед. или мн. ч.): «Пишу», «Идёшь домой?» — подлежащее «я/ты» не названо.
   • Неопределённо-личные (3-е лицо мн. ч.): «Говорят по радио», «Стукнули в дверь» — «кто?» не назван и неважен.
   • Обобщённо-личные (общее правило/поговорка): «Любишь кататься — люби и саночки возить», «С волками жить — по-волчьи выть».
   • Повелительное наклонение: «Иди! Не шумите!» — подразумеваемое «ты/вы».

3. Безличные пассивные конструкции — тоже без подлежащего:
   • «Дом уже построено», «Нам обещано помочь», «Здесь убрано». (Книжные/официальные варианты, но нормальны.)

4. Эллиптические неполные предложения — часть основы опущена и восстанавливается из контекста; подлежащее может не называться:
   • «На остановке — толпа. В автобус — не войти.»
   Формально грамматическая основа неполна, но по ситуации понятна.

Итог: грамматическая основа без подлежащего не просто возможна — это регулярное явление в односоставных и некоторых неполных конструкциях; в анализе обычно фиксируют «подлежащее отсутствует/не выражено, главный член — сказуемое».