давным(давно) , (по)зади,

Правильно:

• давным-давно — через дефис;

• позади — слитно.

Почему так:

1. давным-давно
   Это устойчивое сочетание с повтором одно­коренных слов для усиления значения («очень давно»). По правилу повторы такого типа пишутся через дефис: еле-еле, точь-в-точь, давным-давно.
   Примеры: Мы встречались давным-давно. / Это было давным-давно, в детстве.

2. позади
   Это наречие (а также может выступать как предлог) и пишется слитно. Раздельный вариант по зади неверен, потому что здесь нет предлога с существительным; слово образовано приставкой по- и корнем, поэтому слитное написание закреплено нормой.
   Примеры: Позади остались трудные времена. / Позади дома растут яблони.