Откуда произошло слово "колчан"?

Слово «колча́н» — не исконно славянское, а заимствованное.

Если совсем кратко:
«Колчан» пришло в русский из тюркских языков и буквально означало «сумка / футляр для стрел». +1

Теперь по шагам.

Откуда именно заимствование

В этимологических словарях (Фасмер, Крылов и др.) слово объясняется как заимствование из тюркских языков, чаще всего указывают татарское kolčan / kulčan ‘колчан, сумка для стрел’. +1

То есть схема такая:

татар. kolčan / kulčan → др.-рус. колчанъ → рус. колчан

Параллели есть и в других восточнославянских языках: в украинском фиксируется форма ковча́н со тем же значением. +1

Когда слово появилось в русском

Древнерусская форма «колчанъ» засвидетельствована уже в памятниках XVI века (в текстах эпохи Бориса Годунова и др.). +1

Это хорошо ложится на исторический фон: активные военные и культурные контакты Руси с тюркскими кочевниками (половцы, татары и др.), у которых конное лучное вооружение было ключевым элементом. Вместе с самим предметом (плоский кожаный футляр для стрел) легко переходит и его название. +1

Значение и «внутренний смысл»

В тюркских языках заимствованное русским слово означало просто «сумка / футляр для стрел», то есть буквально то же, что и в современном русском. +1

Структурно русский «колчан» — это уже адаптированная форма:

• основа колч- восходит к тюркскому kolč-,

• -ан — обычный для русского (и вообще для тюркских/славянских) словообразовательный формант существительных.

Про альтернативные (спорные) версии

Иногда встречаются попытки вывести «колчан» из других тюркских слов, например от чего-то типа kolakčan — «имеющий ушки» (намёк на ушки/петли, за которые футляр крепился к седлу), или связывают с чагатайским kalkan «щит». Но такие объяснения в научной этимологии считаются ошибочными или малоубедительными: словари их прямо отметают как неправильные. +1

Итого: слово «колчан» появилось в русском языке в результате заимствования из тюркских языков (через татарский тип kolčan / kulčan) и изначально означало «сумка, футляр для стрел» — именно тот самый воинский колчан конных лучников.