Коротко: это заимствованные слова, которые в русском не склоняются (не меняют форму по падежам и числам). Их форма одна и та же в именительном, родительном и т. д.; число часто понятна только из контекста — по глаголу или прилагательному.

Какие это слова чаще всего

1. Неодушевлённые среднего рода на -о/-е
   пальто, пальто́; кино, радио, видео, метро, джакузи, фойе, шоссе, кашне, купе, кафе, депо, бюро, табло, меню, рагу, кенгуру (животное одуш., но слово нескл.), манго, какао, авокадо, пончо, пианино, сопрано, альт, тенор (но «тенор» склоняется; «сопрано» — нет), трио, дуо, либретто и т. п.
   — Примеры: нет нового пальто; из кафе; к шоссе; много меню; вкусное манго; эти пончо.

2. Слова на -и/-у/-ю/-э
   такси, жюри, алиби, филе, френч (как «пальто-френч» — нескл.), жалюзи (обычно только мн. и нескл.), боа, боулингу — стоп, «боулинг» склоняется; зато: рагу, фри, гриль? «гриль» склоняется.
   — Примеры: в такси; решение жюри; убедительное алиби; картофель фри; поднять жалюзи.

3. Иноязычные фамилии/имена на гласную и на -о/-е
   Дюма, Гарсия, Пикассо, Золя, Шоу, Гюго; имя Мария — русское и склоняется, а Мари, Софи (франц. формы) — нет. Большинство иностранных женских фамилий (особенно на гласную) — несклоняемые: у Фрида Кало; о Мерил Стрип. Мужские на -о/-е тоже обычно не склоняются: у Пабло Пикассо; картины Ван Гога — тут «Ван Гога» по-русски склоняется, но «Пикассо» — нет.

4. Топонимы на гласную
   Сочи, Баку, Перу, Сидзуока (вариативно), Кано, Токио, Сантьяго.
   — Примеры: в Сочи; из Баку; о Перу; к Токио.

5. Названия цветов и стилей, употребляемые как неизменяемые прилагательные/субстантиваты
   хаки, бордо, индиго, сепия (как сущ. склоняется: нет сепии; но как «цвет индиго/бордо» — неизменно), гранж (склоняется как сущ., но «в стиле гранж» — часто без формальных прилагательных).
   — Примеры: брюки цвета хаки; платье бордо; оттенок индиго.

6. Сокращённые, усечённые иноязычные названия, вошедшие как цельные формы
   пиар (склоняется), но пиар-агентство — склоняется по главному слову; рэпе́ртуар — склоняется. Сюда же — усечённое метро (нескл.), кафе (нескл.), шоссе (нескл.).

Как с такими словами согласовывать другие части речи

• Прилагательные/числительные меняются, само слово — нет:
  новое пальто, двух пальто, эти пальто; длинное шоссе; два такси; три меню.

• Род чаще всего средний для предметных слов на -о/-е: вкусное кофе — традиционно кофе — м. р. и несклоняемое; разговорная норма допускает ср. р., но в официальной письменной речи лучше мужской: горячий кофе; чашка ароматного кофе.

• Множественность читается по окружению: приехали два такси; новые пальто подорожали.

Частые ловушки и исключения

• Похоже выглядят, но склоняются:
  шоссе — нет, но шале — тоже нет; шансон — да (шансон, шансона); караоке — нет; цунами — нет; кимоно — нет; пончо — нет; пюре — нет; каноэ — нет; фламинго — нет; шимпанзе — нет; кенгуру — нет; какаду — нет; ранчо — нет. А вот салат фризе — «фризе» неизменно, но соус демиглас — «демиглас» тоже обычно неизменяем.
  При этом: джип, бутерброд, футбол, теннис, театр, офис — обычные склоняемые.

• Жалюзи — всегда множественное и неизменяемое: эти жалюзи; нет жалюзи.

• Меню/табло/бюро/какао/радио/метро/кино/фойе/купе/кашне/депо/шоссе — классические неизменяемые.

• Кофе — неизменяемое, род традиционно мужской: крепкий кофе, без кофе.

• Фамилии на согласный, «о-е» славянского типа обычно склоняются: у Чехова, о Набокове, картины Малевича. Иностранные на гласную — чаще нет: о Гёте; у Гюго; к Гарсиа.

• Иноязычные женские фамилии в большинстве случаев не склоняются: с Моникой Беллуччи; у Ким Кардашьян.

Мини-правила, чтобы быстро проверять себя

1. Видите заимствованное существительное на -о/-е/-и/-у/-ю — почти наверняка несклоняемое.

2. Если слово назвает предмет/явление (не лицо) и похоже на «меню/кино/радио/какао/купе» — не склоняйте.

3. Иностранные фамилии и географические названия на гласную — чаще всего без склонения.

4. Ставьте нужный род и число по контексту (по прилагательному/глаголу), а форму самого слова не меняйте.

Примеры предложений

• Мы заехали в кафе на углу; выйдем из кафе через десять минут.

• В гараж приехали два такси, эти такси уже уехали.

• Купил новое пальто; у меня нет пальто полегче.

• Смотрю на табло вылетов; информации на табло не было.

• Туристы вернулись из Сочи; погода в Сочи испортилась.

• Картины Пабло Пикассо; интервью у Габриэля Гарсиа Маркеса.

• Брюки цвета хаки; пальто оттенка бордо.

Если держать в голове эти группы и правило «форма одна и та же во всех падежах», ошибок почти не будет.