Корень в слове "погожий"

Корень в слове «погожий» — -гож-.

Разбор по составу: по- (приставка) + гож (корень) + -ий (окончание).
Слово образовано от прилагательного «гожий» (‘годный, подходящий, хороший’); отсюда и значение «погожий день» — хороший, ясный. Связь с корнем год-/гож- видна и в однокоренных словах: гожий, пригожий, негоже. Здесь имеет место историческое чередование д/ж: годный — гожий.