Почему одушевлённость/неодушевлённость и род — это постоянные признаки имени существительного?

Коротко: потому что у существительного есть две лексико-грамматические характеристики, которые не меняются при склонении — это род и одушевлённость. Они заданы слову как лексеме (единице словаря), а не отдельной форме, поэтому сохраняются во всех падежах и числах.

Чуть подробнее по пунктам.

1. Что такое «постоянный признак»
   Постоянный признак — тот, который не изменяется внутри парадигмы слова (при переходе из И.п. в Р.п., из ед. в мн. и т. д.). Непостоянные признаки у существительных — это число и падеж: они как раз меняются («стол – стола – столу…», «столы – столов…»). Род и одушевлённость при этом не переключаются.

2. Род — свойство лексемы, а не формы
   Род определяет согласование (какой будет прилагательное, местоимение, форма прошедшего времени): новый стол — он пришёл (м. р.), новая собака — она пришла (ж. р.), новое пальто — оно висело (ср. р.). Меняя падеж или число, мы не можем «переключить» род: нет стола, со столом — всё тот же м. р.
   Даже когда род не виден во множественном числе (в форме «столы» нет маркера мужского рода), он остаётся свойством слова и проявится в согласовании при возврате к ед. числу.
   Особые случаи не опровергают правило:

• Общий род (умница, плакса, сирота): здесь постоянным является сам класс «общий род». Согласование в контексте меняется (он умница / она умница), но лексема остаётся существительным общего рода.

• Разносклоняемые и несклоняемые (путь — м. р.; время — ср. р.; пальто — ср. р.): род у них тоже фиксирован.

• Колебания нормы типа кофе (исторически м. р., разговорная норма допускает ср. р.) — это конкурирующие нормативные варианты, а не изменение рода одной и той же формы при склонении.

3. Одушевлённость — также лексико-грамматический инвариант
   Одушевлённость влияет на морфологию винительного падежа: у одушевлённых в В.п. формы совпадают с Р.п., у неодушевлённых — с И.п.:

• неодуш.: вижу стол (как И.п. — стол), вижу столы;

• одуш.: вижу собаку (как Р.п. — собаки), вижу людей (как Р.п. — людей).
  Это поведение стабильно для всех форм данного слова: нельзя сделать собаку «неодушевлённой» просто изменив падеж или число.
  Да, встречаются лексические омонимы с разной одушевлённостью в разных значениях (нарцисс ‘цветок’ — неодуш., нарцисс ‘самовлюблённый человек’ — одуш.), но это уже разные лексемы с разными словарными значениями.

4. Зачем это нужно системе языка
   Именно как постоянные признаки род и одушевлённость:

• задают модель согласования (прилагательные, местоимения, глагол прошедшего времени);

• участвуют в выборе типа склонения и окончаний;

• обеспечивают устойчивость формообразования (парадигма предсказуема).

Итог: род и одушевлённость — инварианты лексемы (лексико-грамматические категории), поэтому в школьной грамматике их и называют постоянными признаками имени существительного, в отличие от числа и падежа, которые изменяются.