Слово "назначали", "на" - это приставка или входит в корень?

Коротко: в слове «назначали» на- — это приставка, в корень не входит.

Разбор по составу:

• на- — приставка (типичная для глаголов со значениями «положить/установить на что-то», «возложить», «определить»);

• -знач- — корень (как в «значить», «значение», «обозначить», «признак», «зна́чимый»);

• -а- — суффикс, образующий несовершенный вид от «назначить» → «назнача-ть»;

• -л- — суффикс прошедшего времени;

• -и — окончание прош. времени, мн. ч.

Смысловая проверка: в ряду однокоренных «значить — обозначить — назначить — назначение» неизменно сохраняется корень знач, а приставки меняются (о-, на- и т. п.). Поэтому «на» — приставка, а не часть корня.