Какая часть речи "перекликаясь"?

Это деепричастие настоящего времени, несовершенного вида, возвратное: «перекликаясь» ← от глагола «перекликаться».
Морфологически неизменяемо, отвечает на вопрос что делая?, образовано суффиксом -аясь (переклика-ясь), происходит от непереходного глагола.

В предложении выступает обстоятельством (обычно сопутствующего/образа действия) и образует деепричастный оборот, который, как правило, обособляется:
Птицы летели, перекликаясь.