Он (не смотреть под ноги) шлёпал по лужам

Он, не смотря под ноги, шлёпал по лужам.

Здесь деепричастный оборот "не смотря под ноги" поясняет, каким образом он шлёпал по лужам — то есть не обращая внимания, куда ступает.

Важно различать написание:

• "не смотря" — раздельно, если это деепричастие от глагола смотреть (в значении «не глядя»).
  Пример: Шёл, не смотря по сторонам.

• "несмотря" — слитно, если это предлог (в значении «вопреки»).
  Пример: Несмотря на дождь, он пошёл гулять.

В нашем случае это именно действие — он не смотрел под ноги, поэтому правильно писать раздельно:
✅ Он, не смотря под ноги, шлёпал по лужам.