Как называется сложное предложение, состоящее из трёх частей?

Обычно его называют трёхчастным сложным предложением (или трёхкомпонентным сложным предложением). Это сложное предложение, в состав которого входят три простых.

Важно, что «трёхчастность» — это про количество предикативных основ, а не про тип связи. Связи могут быть разными:

• Сложносочинённое: все три части соединены сочинительными союзами.
  Пример: За окном стемнело, и поднялся ветер, и пошёл дождь.

• Сложноподчинённое: одна часть главная, две — придаточные (или цепочка придаточных).
  Пример: Я останусь дома, потому что чувствую недомогание, которое началось с утра.

• Бессоюзное: части соединены интонацией и знаками препинания.
  Пример: Сумерки сгущались — в окнах зажигался свет, улицы пустели.

• Смешанного типа: сочетаются разные виды связи.
  Пример: Наступила ночь, и город затих: в переулках стало слышно, как капает вода.

Итого: корректный термин — трёхчастное (трёхкомпонентное) сложное предложение.