Как называется часть речи, которая отвечает на вопрос "как"?

Это наречие.

Наречие — неизменяемая часть речи, которая чаще всего отвечает на вопрос «как?» (а также «где?», «когда?», «почему?», «зачем?», «в какой степени?» и др.) и обозначает признак действия, другого признака или всего высказывания. В роли члена предложения обычно бывает обстоятельством.

Примеры на вопрос «как?»

• Он говорит тихо. (Как говорит? — тихо.)

• Машина ехала быстро. (Как ехала? — быстро.)

• Работа выполнена аккуратно. (Как выполнена? — аккуратно.)

• Девочка улыбнулась радостно. (Как улыбнулась? — радостно.)

Что важно не путать

• Прилагательное отвечает на «какой? какая? какое? какие?», а не на «как?»: какая речь? — тихая, но как говорит? — тихо (это уже наречие).

• Краткие прилагательные отвечают на «каков? какова? каково? каковы?», тоже не «как?»: Каков он? — молодец.

• Слова на -о/-е в позиции обстоятельства чаще всего наречия (тихо, громко, уверенно), но бывают исключения и омонимия — ориентируйтесь по вопросу и роли в предложении.

Дополнительно про наречия

• Многие качественные наречия образуют степени сравнения: быстро — быстрее — быстрее всего.

• Есть наречия с приставками/суффиксами и дефисные формы: вслух, понемногу, по-русски, по-хорошему.