Что такое корень, суффикс и окончание?

Коротко и по-деловому.

Корень — это общая часть однокоренных слов, которая несёт основное лексическое значение.
Как найти: подобрать родственные слова и выделить совпадающую часть.
Примеры:

• лес-ник, лес-н-ой, лес-ок — корень лес-;

• вод-а, под-вод-н-ый, вод-ич-к-а — корень вод-.

Суффикс — значимая часть слова, стоящая после корня (иногда между корнями), с помощью которой образуются новые слова или оттенки значения, а также некоторые грамматические формы.
Как найти: сравнить однокоренные слова с разными производными.
Примеры:

• дом-ик (уменьш.), дом-ищ-е (увелич.), рыба-к (название лица);

• чит-а-л (суффикс прошедшего времени л), син-ев-а (образование абстрактного существительного).

Окончание — изменяемая часть слова, которая выражает грамматические значения (род, число, падеж; лицо, число, время и т. п.) и служит для связи слов в словосочетании и предложении. Окончание стоит в конце слова и меняется при изменении формы.
Как найти: изменить форму слова.
Примеры:

• дом**-а**, дом**-у**, дом**-ом** — окончания -а, -у, -ом;

• красив**-ая**, красив**-ой**, красив**-ую**;

• бегут: бег-у**-т** — личное окончание -т (у — часть основы корня бег/беж изменчив).

Пара важных замечаний:

• Основа слова — это всё без окончания: домик**-а** → основа домик- (в ней есть корень дом- и суффикс -ик-).

• У неизменяемых слов (например, какао, такси, пальто, вчера) окончания нет.

• Бывает нулевое окончание: форма без звукового выражения, но грамматически присутствует (например, замо́к∅ в И.п. ед.ч.; столы́∅ в И.п. мн.ч.).

• В сложных словах может быть несколько корней: паро-ход, лёд-окол.