Как правильно пишется слово безсловесный или бессловесный и объясните

Правильно: бессловесный (через приставку бес- и с двумя «с»: бессловесный).

Почему так:

1. У прилагательного есть приставка без-/бес-. По правилу русской орфографии она пишется как бес- перед глухими согласными (к, п, т, ф, с, ш, щ, х, ч, ц), и как без- — перед звонкими и гласными:
   бесшумный, бесполезный, бессердечный, но безвкусный, безумен, безжалостный.

2. В слове словесный первая буква корня — с (глухая), поэтому нужна форма приставки бес-.

3. Так как приставка оканчивается на с, а корень начинается с с, на стыке получается две «с»: бес+словесный → бессловесный.

Значение: ‘не говорящий, лишённый речи’ (напр., о животных); также ‘лишённый права голоса, покорный, безмолвный’.

Проверка по аналогии:
бессердечный, бесстрастный, бесцветный — все с удвоенной «с» по той же причине.
Перед «з»-началом будет наоборот: беззвучный (две «з»), беззаботный.