Как пишется "культурно-хозяйственного" и почему?

Правильно: культурно-хозяйственного — через дефис, слитно без пробелов.

Почему так

Это сложное прилагательное, образованное от двух равноправных компонентов:

• культурно- (от «культурный», в форме наречия на -о: культурно)

• хозяйственного (от «хозяйственный»)

В таких случаях дефис ставится, когда первая часть имеет вид наречия на -о / -е и соединяет два признака, которые одинаково относятся к определяемому слову, то есть речь о двух сторонах одного понятия:

• культурно-хозяйственные вопросы

• культурно-хозяйственный отдел

• культурно-хозяйственная деятельность

Смысл здесь такой: «относящийся и к культуре, и к хозяйству» (оба признака равноправны), поэтому написание дефисное.

Почему не слитно и не раздельно

• Слитно обычно пишутся сложные прилагательные с первой частью типа социо-, агро-, био- и т. п., а также некоторые устоявшиеся модели, но наречная первая часть на -о/-е (культурно-) — это как раз типичный сигнал к дефису.

• Раздельно нельзя, потому что это не сочетание двух слов в предложении (не «культурно хозяйственного» как отдельные слова), а единый термин/признак, оформленный как одно сложное прилагательное.

Итого: культурно-хозяйственного пишется через дефис, потому что это сложное прилагательное с первой частью в форме наречия на -о, соединяющее равноправные признаки.