Она взяла вилку и нож и начала есть. (Расставить знаки препинания и объяснить.)

Правильно так: Она взяла вилку и нож и начала есть.

Почему запятые не нужны

1. «Вилку и нож» — однородные дополнения при сказуемом взяла, соединены одиночным союзом и:
   взяла (что?) вилку и нож.
   Между двумя однородными членами с одиночным и запятая не ставится.

2. «Взяла … и начала есть» — однородные сказуемые (два действия одного лица в одной ситуации), соединены одиночным союзом и:
   она взяла … и начала есть.
   Между двумя однородными сказуемыми с одиночным и запятая тоже не ставится.

3. В предложении нет обобщающих слов, уточнений, присоединительных конструкций, вводных слов, поэтому поводов для запятой или тире не появляется.

Итог: предложение простое, с однородными членами, соединёнными союзом и — без запятых.