Дождь пошёл и не проходит, дождь идёт, хотя не ходит. Указать части речи.

Это загадка, построенная на игре слов «пошёл/идёт» (как будто «ходит») и «не проходит/не ходит» (как будто может «пройти/ходить», но в прямом смысле — нет). Разберём по словам и укажем части речи.

Дождь — существительное (нарицательное, неодушевлённое, ед. число, именительный падеж).

пошёл — глагол (прошедшее время, изъявительное наклонение, ед. число, муж. род).
Здесь «пошёл дождь» = «начался дождь».

и — союз (соединительный).

не — частица (отрицательная).

проходит — глагол (настоящее время, изъявительное наклонение, 3-е лицо, ед. число).
«Не проходит» = «не прекращается».

дождь — существительное (то же, что и первое).

идёт — глагол (настоящее время, изъявительное наклонение, 3-е лицо, ед. число).
«Дождь идёт» = «дождь идёт/льёт», то есть продолжается.

хотя — союз (уступительный), вводит уступительное отношение: «несмотря на то, что…».

не — частица (отрицательная).

ходит — глагол (настоящее время, изъявительное наклонение, 3-е лицо, ед. число).
Это уже буквальное «ходит» (как ходят люди), что к дождю неприменимо — в этом и шутка.

Итого по частям речи в тексте:

• существительные: дождь (2 раза);

• глаголы: пошёл, проходит, идёт, ходит;

• союзы: и, хотя;

• частица: не (2 раза).