Из-за туч вышла луна и, улыбаясь, поплыла по небу. Завыла собака, и сорок лунных зайцев побежали. Глаголы "поплыла" и "побежали" чем являются в предложении?

В этом фрагменте оба слова — сказуемые, то есть главные члены предложения, которые называют действие.

Разберём по частям.

1. «Из-за туч вышла луна и, улыбаясь, поплыла по небу.»

• Подлежащее: луна.

• вышла — сказуемое (первое действие).

• поплыла — тоже сказуемое, однородное с «вышла» (второе действие той же «луны»).
  Оборот «улыбаясь» — деепричастный, это не сказуемое, а добавочное действие при основном.

2. «Завыла собака, и сорок лунных зайцев побежали.»
   Это уже две части, соединённые союзом и (по смыслу — два события).

• В первой части: подлежащее собака, сказуемое завыла.

• Во второй части: подлежащее сорок лунных зайцев, а побежали — сказуемое (действие «зайцев»).

Итак:

• «поплыла» — простое глагольное сказуемое (однородное с «вышла»).

• «побежали» — простое глагольное сказуемое (во второй части сложного предложения).