К какой части речи относится слово "чем"? Это дополнение?

Слово «чем» само по себе не является частью речи “дополнение”.
Дополнение — это член предложения (синтаксическая роль), а часть речи — это то, какое это слово по грамматической природе (местоимение, союз и т. п.). Одно и то же слово в разных контекстах может относиться к разным частям речи и выполнять разные роли в предложении.

К какой части речи относится «чем»

1) Чаще всего «чем» — это местоимение (форма местоимения «что»)

Конкретно это творительный падеж от «что»: что — чем.
В таких случаях «чем» отвечает на вопрос «чем?» и обычно связано с глаголом или прилагательным по смыслу.

Примеры:

• Я пишу чем? — ручкой. (здесь “чем” можно заменить на “чем именно?” — это местоимение)

• Он интересуется, чем ты занят. (тоже местоимение)

2) «Чем» может быть союзом (часть составного союза или сравнительный союз)

Очень частая конструкция — «чем …, тем …» или сравнение «… чем …».

Примеры:

• Чем больше читаешь, тем больше понимаешь. (здесь “чем” — элемент парного союза “чем — тем”, это союзное средство, не член предложения)

• Он выше, чем я. (здесь “чем” — сравнительный союз)

3) «Чем» может быть союзным словом (местоимение, которое связывает части сложного предложения)

Союзное слово похоже на союз тем, что соединяет части, но при этом является членом придаточного предложения и имеет вопрос.

Примеры:

• Я знаю, чем он гордится.
  В придаточной части можно задать вопрос: он гордится чем? — значит, “чем” здесь союзное слово (по части речи — местоимение), и оно член придаточного.

Это дополнение?

Иногда — да, но не всегда.
Если “чем” употреблено как местоимение в значении предмета/содержания и к нему можно задать вопрос «чем?», то оно обычно выполняет роль дополнения.

• Он гордится чем? — победой / тем, что сделал. → “чем” (в придаточной части) — дополнение.

• Я не понял, чем ты недоволен. → “чем” — дополнение (внутри придаточного).

Но если “чем” — союз (например: выше, чем я; чем больше…, тем…), то дополнением оно не является, потому что союз не бывает членом предложения.

Итог

• «Чем» по части речи бывает:

  • местоимением (форма “что” в творительном падеже) — очень часто;

  • союзом (в сравнении или в конструкции “чем — тем”);

  • союзным словом (по сути местоимение, которое связывает части СПП и является членом придаточного).

• Дополнение — это не часть речи.

• «Чем» может быть дополнением, когда оно местоимение/союзное слово и отвечает на вопрос «чем?»; не может быть дополнением, когда оно союз.