Нужна ли запятая в следующем предложении и почему: "Через некоторое время смолк шум деревьев и начался дождь."

Запятая в предложении "Через некоторое время смолк шум деревьев и начался дождь" не требуется.

Объяснение: Здесь два однородных сказуемых — "смолк" и "начался", которые соединены союзом "и". Запятая не ставится, так как в данном случае перед союзами "и", "да" (в значении и) и "или", которые соединяют однородные члены предложения, запятая не ставится, если нет противопоставления или уточняющего элемента.