Что общего у деепричастия с глаголом и наречием?

Деепричастие сочетает в себе признаки глагола и наречия, поэтому его часто называют особой формой глагола.

С глаголом у деепричастия общее то, что оно обозначает действие. Но это действие не основное, а добавочное, сопутствующее. Например: Он шел, насвистывая. Основное действие — шел, добавочное — насвистывая.

Кроме того, деепричастие сохраняет некоторые грамматические признаки глагола:

• вид:
  читая — несовершенный вид,
  прочитав — совершенный вид;

• возвратность:
  умываясь, оглянувшись;

• способность иметь зависимые слова, как и глагол:
  читая книгу,
  написав письмо другу.

То есть деепричастие, как и глагол, может «управлять» другими словами и образовывать целый деепричастный оборот.

С наречием у деепричастия общее то, что оно не изменяется. У деепричастия нет рода, числа, лица, времени, как и у наречия. Оно всегда сохраняет одну и ту же форму.

Также деепричастие похоже на наречие своей синтаксической ролью: в предложении оно обычно бывает обстоятельством, то есть поясняет, как, когда, почему, при каком условии совершается основное действие. Например:
Он отвечал, улыбаясь.
Слово улыбаясь здесь зависит от сказуемого и указывает на образ действия — как именно отвечал.

Итак, можно сказать так:

• от глагола деепричастие взяло значение действия и некоторые глагольные признаки;

• от наречия — неизменяемость и роль обстоятельства в предложении.

Поэтому деепричастие — это форма, которая как бы соединяет свойства двух частей речи: по значению оно близко к глаголу, а по функции в предложении — к наречию.