1) Несмотря на все наши предосторожности, весть о появлении Пугачёва разнеслась по крепости. 2) Пишу вам на деревню, куда заехал вследствие печальных обстоятельств. 3) Дубровский получил из города приглашение доставить немедленно надлежащие объяснения насчёт его владения Кистенёвкою. 4) Сколько я ни старался различить вдалеке что-нибудь наподобие лодки, но безуспешно. 5) Из-под таинственной холодной полумаски звучал мне голос твой, отрадный, как мечта. 6) Я представил себе, как много лет назад Нина Георгиевна купила ему этот нарядный матросский костюмчик, как долго причёсывала перед тем, как повести к фотографу: из-под бескозырки продуманно выбивались светлые волнистые волосы. 7) Мшары — это заросшие в течение тысячелетий озёра.

Во всех предложениях нужно обратить внимание на предлоги и похожие на них сочетания, особенно на производные предлоги. Разберём каждое предложение.

1) Несмотря на все наши предосторожности, весть о появлении Пугачёва разнеслась по крепости.

Здесь несмотря на — производный предлог со значением уступки:
несмотря на предосторожности = вопреки предосторожностям.

Пишется раздельно: несмотря на.

Это не деепричастие, потому что нельзя понимать буквально как «не смотря глазами». Сравним:

Несмотря на дождь, мы пошли гулять — предлог, можно заменить на «вопреки дождю».
Не смотря по сторонам, он переходил улицу — деепричастие, можно задать вопрос: что делая?

В данном предложении правильно: несмотря на.

2) Пишу вам на деревню, куда заехал вследствие печальных обстоятельств.

Здесь вследствие — производный предлог со значением причины:
вследствие печальных обстоятельств = из-за печальных обстоятельств, по причине печальных обстоятельств.

Пишется слитно: вследствие.

Важно отличать от сочетания существительного с предлогом:

Вследствие болезни он не пришёл — предлог, можно заменить на «из-за болезни».
В следствии по делу появились новые факты — существительное «следствие» с предлогом, речь идёт о расследовании.

В этом предложении: вследствие — слитно.

3) Дубровский получил из города приглашение доставить немедленно надлежащие объяснения насчёт его владения Кистенёвкою.

Здесь насчёт — производный предлог со значением «о», «относительно»:
объяснения насчёт владения = объяснения относительно владения, объяснения о владении.

Пишется слитно: насчёт.

Сравним:

Поговорим насчёт поездки — предлог, можно заменить на «о поездке».
Деньги поступили на счёт в банке — существительное «счёт» с предлогом «на», пишется раздельно.

В данном предложении правильно: насчёт.

4) Сколько я ни старался различить вдалеке что-нибудь наподобие лодки, но безуспешно.

Здесь наподобие — производный предлог со значением «вроде», «похожее на»:
что-нибудь наподобие лодки = что-нибудь вроде лодки.

Пишется слитно: наподобие.

Это именно предлог, потому что после него стоит существительное в родительном падеже: наподобие чего? лодки.

5) Из-под таинственной холодной полумаски звучал мне голос твой, отрадный, как мечта.

Здесь из-под — сложный предлог.

Пишется через дефис: из-под.

Он указывает на направление или источник:
из-под полумаски — то есть как бы «из-под неё», «из-под поверхности/прикрытия».

Сложные предлоги из-за, из-под пишутся через дефис.

6) Я представил себе, как много лет назад Нина Георгиевна купила ему этот нарядный матросский костюмчик, как долго причёсывала перед тем, как повести к фотографу: из-под бескозырки продуманно выбивались светлые волнистые волосы.

В этом предложении есть несколько важных элементов.

Перед тем, как — составной союз, вводящий придаточную часть времени:
причёсывала перед тем, как повести к фотографу.

Запятая ставится перед как, потому что начинается придаточная часть:
перед тем, как повести...

Также здесь есть предлог из-под:
из-под бескозырки выбивались волосы.

Он пишется через дефис, как и в предыдущем предложении.

7) Мшары — это заросшие в течение тысячелетий озёра.

Здесь в течение — производный предлог со значением времени:
в течение тысячелетий = на протяжении тысячелетий.

Пишется раздельно: в течение.

На конце пишется е, если это предлог: в течение дня, в течение года, в течение тысячелетий.

Нужно отличать от существительного «течение»:

В течение реки попала ветка — существительное, можно вставить определение: в быстрое течение реки.
В течение недели шёл дождь — предлог, можно заменить на «на протяжении недели».

В данном предложении правильно: в течение тысячелетий.

Итак, в этих предложениях употреблены такие предлоги и сочетания:

1. несмотря на — производный предлог, пишется раздельно.

2. вследствие — производный предлог, пишется слитно.

3. насчёт — производный предлог, пишется слитно.

4. наподобие — производный предлог, пишется слитно.

5. из-под — сложный предлог, пишется через дефис.

6. перед тем, как — составной союз; из-под — сложный предлог через дефис.

7. в течение — производный предлог, пишется раздельно, на конце е.