Как писать правильно: ПОГОДА СЫРАЯ? или ПОГОДА МОКРАЯ?

Правильно: погода сырая.

Выражение «сырая погода» — нормальное и общеупотребительное. Так говорят, когда на улице влажно, промозгло, пасмурно, может идти мелкий дождь, морось, туман, воздух насыщен влагой. Например:

Сегодня сырая погода: холодно, влажно и неприятно.
Из-за сырой погоды дороги долго не просыхают.
В такую сырую погоду легко простудиться.

А вот выражение «мокрая погода» звучит неестественно. Слово «мокрый» обычно употребляют по отношению к предметам, людям, одежде, волосам, земле, дороге — то есть к тому, что непосредственно намокло:

мокрая куртка
мокрые волосы
мокрая дорога
мокрая трава
мокрый асфальт

Погода сама по себе не бывает «мокрой» в обычной литературной речи. Она может быть сырой, дождливой, влажной, пасмурной, ненастной.

Поэтому лучше сказать:

Погода сырая.
Сегодня сыро.
На улице сырая погода.
Погода дождливая и промозглая.

Фраза «погода мокрая» возможна разве что в разговорной, шутливой или образной речи, но как правильный нейтральный вариант лучше использовать «сырая погода».