Хорошо и путь-дорогу по обычаю начать: у родимого порога (по) сидеть и (по) молчать

Правильно писать слитно:

Хорошо и путь-дорогу по обычаю начать: у родимого порога посидеть и помолчать.

Здесь посидеть и помолчать — это глаголы с приставкой по-, поэтому пишутся слитно.

Приставка по- в таких глаголах часто обозначает действие в течение некоторого времени, немного, недолго:

посидеть — немного сидеть, провести некоторое время сидя;
помолчать — немного молчать, некоторое время молчать.

То есть смысл такой: перед дорогой по обычаю надо ненадолго присесть у родного порога и немного помолчать.

Раздельное написание по сидеть, по молчать невозможно, потому что сидеть и молчать — глаголы, а предлог по с глаголами не употребляется. Здесь это не предлог, а часть слова — приставка.

Для сравнения:

по обычаю — раздельно, потому что по здесь предлог, а обычаю — существительное: по чему? по обычаю.

посидеть, помолчать — слитно, потому что по- здесь приставка в составе глаголов.

Итак, верный вариант:

Хорошо и путь-дорогу по обычаю начать: у родимого порога посидеть и помолчать.