Не увидел Таню или Таню?

Правильно: «Не увидел Таню».

Здесь нужен винительный падеж, потому что глагол «увидеть» требует прямого дополнения: увидеть кого? что?

Увидел кого? — Таню.
Не увидел кого? — Таню.

Отрицание не в данном случае не меняет падеж. Имя Таня склоняется так:

именительный: Таня
родительный: Тани
дательный: Тане
винительный: Таню
творительный: Таней
предложный: о Тане

Поэтому:

Я увидел Таню.
Я не увидел Таню.
Он не заметил Таню.
Мы искали Таню, но не увидели.

Форма «Тани» была бы правильной в других случаях, например в родительном падеже:

Нет Тани дома.
Я не знаю Тани.
Мы ждали Тани.
У Тани новая книга.

Но с глаголом «увидеть» в обычной фразе нужно: «Не увидел Таню».