Сколько в корне слов букв "о" и сколько звуков [о] в словах: горы, горный, пригорок, гора, нагорный?

Во всех этих словах один и тот же корень: -гор- / -гор-. Буква «о» в корне есть в каждом слове, то есть по написанию в корне всегда 1 буква «о».

Теперь посмотрим на звуки. В русском языке буква о обозначает звук [о] только под ударением. Без ударения она обычно произносится как [а] или близкий к нему звук.

Разберём слова:

горы — ударение падает на первый слог: го́ры.
В корне буква о под ударением, значит слышится звук [о].
Итог: 1 буква «о», 1 звук [о].

горный — ударение: го́рный.
Буква о в корне под ударением, произносится как [о].
Итог: 1 буква «о», 1 звук [о].

пригорок — ударение: приго́рок.
Буква о в корне под ударением, значит это звук [о].
Итог: 1 буква «о», 1 звук [о].

гора — ударение: гора́.
Буква о в корне без ударения, поэтому произносится не как [о], а примерно как [а]: [гара́].
Итог: 1 буква «о», 0 звуков [о].

нагорный — ударение: наго́рный.
Буква о в корне под ударением, произносится как [о].
Итог: 1 буква «о», 1 звук [о].

Общий ответ: в корне каждого слова по 1 букве «о», всего в пяти словах — 5 букв «о» в корнях. Звуков [о] в этих словах — 4, потому что в слове гора́ буква о безударная и звука [о] не даёт.